La geometría básica del gótico: la vesica piscis.
Las catedrales góticas son una síntesis perfecta de la ingeniosidad humana, la belleza de la geometría y la espiritualidad. Son el testimonio de una época en la que el conocimiento y la fe se fusionaron para crear, a través de la arquitectura, una conexión entre el mundo terrenal y el reino celestial. Al entrar en estos espacios, nos sumergimos en un universo donde cada proporción, cada ángulo y cada forma forman parte de un lenguaje geométrico que expresa la búsqueda del infinito y el deseo de alcanzar el cielo. Todo parece diseñado para impresionar: las altas bóvedas, las vidrieras llenas de colores y los detalles decorativos nos hacen sentir pequeños y, al mismo tiempo, parte de algo inmenso. Esta arquitectura de piedra es una proeza del talento humano, presente en cada rincón. Pero lo más fascinante son los medios técnicos y los conocimientos utilizados para construir estas maravillas de la arquitectura y la ingeniería. En los inicios del gótico, una época en la que los números romanos aún se utilizaban para el comercio, mientras que los números arábigos, mucho más prácticos para los cálculos y el álgebra, eran casi desconocidos en Europa, las grandes catedrales góticas se construyeron principalmente siguiendo principios geométricos que hoy en día estudian los alumnos de los primeros cursos de secundaria.
Por ello, no es exagerado decir que las catedrales góticas, por su majestuosidad arquitectónica y, al mismo tiempo, la elegancia de los conceptos geométricos con los que fueron concebidas, son un ejemplo impresionante de cómo la ingeniosidad humana, la belleza de la geometría y la espiritualidad pueden unirse para crear algo extraordinario. Las catedrales no son solo edificios: son un símbolo de una época en la que el conocimiento y la religión trabajaban juntos para conectar el mundo terrenal con el cielo. Al entrar en estos espacios, todo parece pensado para asombrarnos: las altas bóvedas, las vidrieras llenas de colores y los detalles decorativos nos hacen sentir pequeños y, al mismo tiempo, parte de algo mucho más grande. Pero lo más fascinante es cómo se construyeron estas maravillas en una época en la que no existían las herramientas modernas ni los cálculos matemáticos que utilizamos hoy.
Para entender la geometría que hay detrás de estas colosales construcciones, es imprescindible partir de una de las formas geométricas más elementales: el triángulo equilátero, un símbolo en el cristianismo medieval asociado con la Trinidad (Padre, Hijo y Espíritu Santo), que simboliza la unidad en la diversidad. Sin embargo, para construirlo a partir de la regla y el compás, como hacían los maestros constructores de la Edad Media, es necesario pasar primero por otra figura, que es uno de los símbolos más potentes del cristianismo y la base de muchos elementos de la arquitectura gótica: la vesica piscis. La vesica piscis es una figura geométrica que se crea a partir de la intersección de dos círculos de radio idéntico, cuyos centros se encuentran justo en la circunferencia del otro círculo. Esta forma, que se asemeja a un pez según algunas interpretaciones, fue adoptada por el cristianismo primitivo, aunque ya existía con otros nombres y significados en civilizaciones anteriores como las mesopotámicas, africanas y asiáticas.
Esta figura, el pez, se convirtió en un símbolo secreto de identidad y fe para los cristianos como colectivo durante los primeros siglos de persecución en el Imperio Romano. Este símbolo proviene de la palabra griega «ἰχθύς» (ichthys), que significa «pez» y se descomponía como un acrónimo:
- CH: «Christos» (Cristo)
- I: «Iesous» (Jesús)
- TH: «Theou» (De Dios)
- Y: «Yios» (Hijo)
- S: «Soter» (Salvador)
Este acrónimo era una forma de codificar la esencia del cristianismo en solo unos pocos caracteres y se convirtió en uno de los símbolos más reconocibles y poderosos de la iconografía cristiana. Ichthys era, en los primeros siglos del cristianismo (I, II y III), el equivalente a las siglas modernas que hoy utilizamos para condensar conceptos o identificar instituciones con las iniciales de las palabras más importantes. Para los primeros cristianos, ichthys no era solo una palabra, sino un mensaje intrínsecamente poderoso y profundamente simbólico, que encapsulaba en cinco letras las creencias centrales de su fe. Y acompañando este acrónimo, existía un «logotipo» perfecto: la vesica piscis, una forma mística de intersección que evoca la imagen de un pez y que se convertiría en el símbolo icónico del cristianismo. Así, se podría decir que ichthys fue un ejemplo impecable de branding, creado con acierto por los primeros cristianos para identificar y dar forma a su fe.
Es fascinante observar cómo la vesica piscis, un símbolo profundamente arraigado en la iconografía cristiana, se convierte en la figura geométrica esencial en la construcción de catedrales. Lejos de ser solo un adorno, esta figura aporta una proporción matemática sorprendente que dota a las construcciones góticas de una armonía y una belleza incomparables, convirtiéndose en el patrón geométrico omnipresente en las proporciones de muchos de los elementos de estos edificios.
Para comprender mejor esta armonía, observemos el siguiente gráfico.
En él se puede ver cómo, en la intersección de dos circunferencias, aparece un triángulo equilátero perfectamente inscrito dentro de la vesica piscis. A partir de él, y del Teorema de Pitágoras, se pueden calcular fácilmente las proporciones de esta figura. Tal como se ve en el diagrama del gráfico anterior, el triángulo (ABC) es equilátero y se encuentra exactamente en el centro de la vesica piscis. Tomando (AB = 1), la distancia (AM) se convierte en 1/2.
A partir de estos valores, utilizando el Teorema de Pitágoras, podemos calcular la longitud de (CH):
Así, la longitud total de (CD) es el doble de (CM), es decir,
Así, la relación entre la longitud y la anchura de la vesica piscis se puede expresar matemáticamente como:
Obteniendo que la raíz cuadrada de 3, un número irracional, es la proporción entre la longitud y la anchura de la vesica piscis.
Los maestros de obra medievales utilizaron la vesica piscis como base para establecer las proporciones de los elementos más importantes de las catedrales góticas. Esta figura geométrica se encuentra en los arcos apuntados, las bóvedas de crucería, las naves, las ventanas y los rosetones, entre otros. No solo aportaba belleza visual, sino que también garantizaba una armonía y un equilibrio estructural, convirtiendo estas construcciones en auténticas obras maestras.
En este sentido, el elemento gótico más conocido por todos, el arco apuntado, puede identificarse fácilmente dentro de la vesica piscis si se observa la figura formada por los puntos A, B y C en la intersección de los dos círculos. Esta forma apuntada de los arcos no es solo estética; el arco apuntado tiene una función estructural esencial. A diferencia de los arcos de medio punto de la arquitectura románica, que “empujan” las fuerzas hacia los lados y necesitan muros gruesos para soportar estas fuerzas laterales, el arco apuntado permitió a los maestros constructores dirigir el peso de todos los elementos verticalmente hacia abajo, hacia las bases del arco. Esto hizo posible construir estructuras más altas y esbeltas sin necesidad de contrafuertes laterales macizos.
Este diseño se basa en una distribución de fuerzas modelada por la ecuación matemática que hoy escribiríamos como:
Donde F representa la fuerza que se desplaza hacia abajo, W es la carga que soporta el arco (es decir, el peso de la bóveda o del techo), y theta es el ángulo del arco apuntado. Al redirigir el peso hacia las bases, los constructores medievales pudieron crear espacios luminosos gracias a muros altos y ligeros con grandes aberturas para las vidrieras. Este juego de fuerzas otorgó a las catedrales europeas una innovación técnica para la época, desafiando casi la gravedad.
Sin embargo, por muy técnicamente avanzada que pueda parecer este tipo de construcción para su época, es importante tener en cuenta un detalle fundamental que no puede pasarse por alto: los maestros constructores de la época no disponían de cálculos algebraicos ni de ecuaciones como las presentadas en este artículo para construir las catedrales góticas. No tenían ni las herramientas modernas ni los conocimientos matemáticos avanzados que actualmente consideramos imprescindibles para llevar a cabo un proyecto de construcción. Pero lo que sí poseían era un profundo conocimiento práctico, fruto de la experiencia acumulada y transmitida de generación en generación. Esta experiencia les permitía comprender con gran precisión cómo funcionaban las fuerzas y la distribución del peso dentro de sus colosales construcciones, logrando resultados que siguen fascinándonos siglos después.
En este sentido, debemos recordar que, aunque la trigonometría —la rama de las matemáticas que estudia los ángulos y las distancias— ya era conocida por culturas antiguas como los babilonios, en la Europa del siglo XII, al comienzo del gótico, apenas se empezaba a conocer la existencia del número cero. Los cálculos todavía se realizaban con números romanos. ¿Qué implicaciones tiene esto? Significa que los maestros constructores no podían diseñar la estructura de las catedrales basándose en estimaciones numéricas, ya que los números romanos no eran prácticos para realizar cálculos complejos, como los necesarios en la construcción. Para encontrar un avance en este sentido, debemos avanzar hasta el siglo XIII. En ese momento, el famoso matemático italiano Leonardo Fibonacci escribió su Liber Abaci (1202), con el propósito de introducir y popularizar en Europa el sistema de numeración arábigo-hindú, que utiliza los números del 0 al 9 y el concepto del cero, tal como lo usamos hoy en día, como base para los cálculos. Este sistema era mucho más práctico para los cálculos y la trigonometría que el sistema de numeración romano, que, como ya se ha mencionado, dominaba en Europa en aquel momento, pero era menos eficiente. Sin embargo, pasarían todavía siglos antes de que estos métodos de cálculo se introdujeran de forma generalizada en todos los ámbitos de la sociedad y en el campo de la arquitectura y la construcción en Europa.
Otro de los elementos característicos del gótico, las bóvedas de crucería de las naves, un componente fundamental de la estructura de las catedrales góticas, también tiene la vesica piscis como elemento esencial en su diseño. Formadas por la intersección de arcos apuntados, estas bóvedas crean un entramado de líneas que distribuyen el peso con precisión, utilizando el principio de las superficies regladas. Los maestros de obra góticos realizaban meticulosamente cada nervadura para garantizar que la bóveda soportara el peso sin comprometer la estabilidad del edificio.
En cuanto a las ventanas con vidrieras y los rosetones de las catedrales góticas, estos elementos son también otros grandes ejemplos visuales de cómo la vesica piscis se convierte en una base fundamental tanto para las proporciones como para los diseños decorativos. Esta figura geométrica no solo está presente e influye en las dimensiones generales de estos elementos, sino que también se manifiesta en los patrones intrincados que encontramos en su interior. Los maestros de obra y los artesanos del vidrio de la época desarrollaron una habilidad impresionante, teniendo en cuenta los medios de la época, creando círculos tangentes, polígonos regulares y figuras estrelladas en su interior, combinando con precisión vidrio y piedra para dar vida a estas obras maestras. La complejidad de estos diseños refleja un conocimiento profundo de la geometría y una capacidad técnica extraordinaria. Sobre este tema, las ventanas y los rosetones de las catedrales góticas, debido a su complejidad y a la gran cantidad de detalles que presentan, hablaré en otra publicación, con el fin de ofrecer una explicación pausada y detallada sobre la relación entre las proporciones, la geometría de los ornamentos de estos elementos y la vesica piscis.
En una época sin cálculos complejos ni herramientas modernas, los maestros de obra levantaron estas estructuras colosales con geometría, intuición y conocimientos transmitidos de generación en generación. La geometría no era solo un recurso técnico, sino también una forma de conexión con lo divino. Entre todas las figuras geométricas que sostienen este legado, la vesica piscis se destaca como un símbolo de armonía y trascendencia. Esta figura, creada, como hemos visto, por la intersección de dos círculos de radios idénticos, donde el perímetro de cada uno pasa por el centro del otro, no solo se convirtió en un emblema espiritual, sino que también fue la base para diseñar proporciones y formas en elementos clave de las catedrales, como los arcos apuntados, las bóvedas de crucería, las ventanas y los rosetones, entre otros. La vesica piscis, con el triángulo equilátero en su interior, nos recuerda cómo la belleza inherente de la geometría puede ser tanto funcional como simbólica. Este símbolo, que une misticismo y precisión técnica, refleja la rica interconexión de la Edad Media entre la ciencia y la fe, entre el hombre y lo divino. Las catedrales góticas, por tanto, no son solo edificios imponentes, sino auténticas obras de arte que integran conocimientos matemáticos, filosóficos y espirituales. Nos recuerdan la capacidad de la humanidad para comprender y dar forma a lo que parece imposible. Este legado arquitectónico sigue inspirando y maravillando a quienes las contemplan, ofreciendo una ventana a una época en la que las matemáticas y la geometría se consideraban un camino para comprender el cosmos y su belleza inherente.