La geometria bàsica del gòtic: la vesica piscis.
Les catedrals gòtiques són una síntesi perfecta de l’enginy humà, la bellesa de la geometria i l’espiritualitat. Són el testimoni d’una època en què el coneixement i la fe es van fondre per assolir mitjançant l’arquitectura una connexió entre el món terrenal i el món celestial. Quan entrem en aquests espais, ens submergim en un món on cada proporció, cada angle i cada forma formen part d’un llenguatge geomètric que expressa la recerca de l’infinit i la voluntat d’arribar al cel. Sembla que tot està pensat per impressionar: les altes voltes, les finestres plenes de colors i els detalls decoratius ens fan sentir petits i, alhora, part d’alguna cosa molt gran. Aquesta arquitectura en pedra és una proesa del talent humà, present en cada racó. Però el més fascinant és amb quins mitjans tècnics i coneixements es van construir aquestes meravelles de l’arquitectura i l’enginyeria. En una època, en els inicis del gòtic, en què encara s’utilitzaven els números romans per al comerç, mentre que els números aràbics, molt més pràctics per als càlculs i l’àlgebra, eren gairebé desconeguts a Europa, les grans catedrals gòtiques es van construir bàsicament amb els principis de la geometria que avui en dia estudien els alumnes dels primers cursos de secundària.
Així doncs, no és exagerat dir que les catedrals gòtiques, per la seva majestuositat constructiva i, alhora, l’elegància dels conceptes geomètrics amb què es van concebre, són un exemple impressionant de com l’enginy humà, la bellesa de la geometria i l’espiritualitat poden unir-se per crear alguna cosa extraordinària. Les catedrals no són només edificis: són un símbol d’una època en què el coneixement i la religió treballaven junts per connectar el món terrenal amb el cel. Quan entrem en aquests espais, sembla que tot està pensat per impressionar: les altes voltes, les finestres plenes de colors i els detalls decoratius ens fan sentir petits i, alhora, part d’alguna cosa molt gran. Però el més fascinant és com es van construir aquestes meravelles en una època en què no existien les eines modernes ni els càlculs matemàtics que fem servir avui.
Per abordar quina és la geometria que hi ha darrere d’aquestes colossals construccions, és imprescindible partir d’una de les formes geomètriques més elementals, el triangle equilàter i símbol en el cristianisme medieval associat amb la Trinitat (Pare, Fill i Esperit Sant), simbolitzant la unitat dins la diversitat. No obstant això, per construir-lo a partir del regle i compàs com ho feien els mestres d’obra de l’edat mitjana, cal passar prèviament per una altra figura que és un dels símbols més potents del cristianisme i la base de molts elements de l’arquitectura gòtica: la vesica piscis. La vesica piscis és una figura geomètrica que es crea a partir de la intersecció de dos cercles de radi idèntic, els centres dels quals es troben just a la circumferència de l’altre cercle. Aquesta forma, que s’assembla a un peix, entre altres interpretacions, va ser adoptada pel cristianisme en els seus orígens, però ja existia amb altres noms i significats en civilitzacions anteriors com les mesopotàmiques, africanes i asiàtiques.
I és que aquesta figura del peix, és la que pels cristians va esdevenir un símbol secret d’identitat i fe per ells com a col·lectiu durant els primers segles de persecució a l’Imperi Romà. Aquest símbol prové de la paraula grega “ἰχθύς” (ichthys), que significa “peix” i es descompon com un acrònim:
- CH: “Christos” (Crist)
- I: “Iesous” (Jesús)
- TH: “Theou” (de Déu)
- Y: “Yios” (Fill)
- S: “Soter” (Salvador)
Aquest acrònim era una manera de codificar l’essència del cristianisme en només uns pocs caràcters, i va esdevenir un dels símbols més recognoscibles i poderosos de la iconografia cristiana. Ichthys era, en els primers segles del cristianisme (I, II i III), l’equivalent de les sigles modernes que avui utilitzem per condensar conceptes o identificar institucions amb les inicials de les paraules més importants. Per als primers cristians, ichthys no era només una paraula, sinó un missatge intrínsecament poderós i profundament simbòlic, que encapsulava en cinc lletres les creences centrals de la seva fe. I acompanyant aquest acrònim, hi havia un “logotip” perfecte: la vesica piscis, una forma mística d’intersecció que evoca la imatge d’un peix i es convertiria en el símbol icònic del cristianisme. Així, es podria dir que ichthys va ser un exemple impecable de brànding, creat amb encert pels primers cristians per identificar i donar forma a la seva fe.
I és fascinant observar com la vesical piscis, un símbol profundament arrelat en la iconografia cristiana, esdevé en la figura geomètrica essencial en la construcció de catedrals. Lluny de ser només un adorn, aquesta figura aporta una proporció matemàtica sorprenent que dota les construccions gòtiques d’una harmonia i bellesa inigualables, convertint-se en el patró geomètric omnipresent a les proporcions de molts dels elements d’aquests edificis.
Per comprendre millor aquesta harmonia, observem el següent gràfic.
En ell es pot veure com, en la intersecció de dues circumferències, apareix un triangle equilàter perfectament inscrit dins de la vesica piscis. A partir d’ell, i del Teorema de Pitàgores, es poden calcular fàcilment les proporciona d’aquesta figura. Tal com es veu al diagrama del gràfic anterior, el triangle ( ABC ) és equilàter i es troba exactament al centre de la vesica piscis. Prenent ( AB = 1 ), la distància ( AM ) esdevé 1/2.
Així doncs, a partir d’aquests valors, amb el Teorema de Pitàgores, podem calcular la longitud de ( CM ):
Així, la llargada total de ( CD ) és el doble de ( CM ), és a dir,
Això ens porta al fet que la relació entre la llargada i l’amplada de la vesica piscis es pot expressar matemàticament com:
Obtenint que arrel de 3, un nombre irracional, és la raó entre la llargada i l’amplada de la vesica piscis.
Els mestres d’obra medievals van utilitzar la vesica piscis com a base per establir les proporcions dels elements més importants de les catedrals gòtiques. Aquesta figura geomètrica la podem trobar en els arcs ogivals, les voltes de creueria, les naus, les finestres i els rosetons, entre d’altres. I no només aportava bellesa visual, sinó que també assegurava una harmonia i un equilibri estructural que van convertir aquestes construccions en veritables obres mestres.
En aquest sentit, l’element més conegut per tothom del gòtic, l’arc ogival, si observeu la figura anterior de la vesica piscis, el podreu trobar fàcilment a dins seu, si us fixeu en la figura que formen els punts ABC en la intersecció de les dues circumferències. I és que aquesta forma apuntada dels arcs, no és només estètica; ja que l’arc ogival té una funció estructural essencial. A diferència dels arcs de mig punt de l’arquitectura romànica, que “empenyen” les forces cap als costats i que per compensar-ho requereixen murs gruixuts que siguin capaços d’aguantar aquestes forces laterals, amb l’arc ogival els mestres d’obra van aconseguir dirigir el pes de tots els elements verticalment cap avall, cap a les bases de l’arc, cosa que permet aixecar estructures més altes i esveltes sense necessitat de gruixuts contraforts laterals.
Aquest disseny es basa en una distribució de forces modelada per l’equació matemàtica que escriuríem avui dia com:
on F representa la força que es desplaça cap avall, W és la càrrega que l’arc suporta (és a dir, el pes de la volta o el sostre), i theta és l’angle de l’arc ogival. En redirigir el pes cap a les bases, els mestres medievals van poder construir espais lluminosos gràcies a poder en els murs alts i lleugers amb grans obertures per als vitralls. Aquest joc de forces van dotar a les catedrals europees d’una innovació tècnica per l’època mai assolida fons aleshores, de tal forma com si desafiaran la gravetat.
No obstant això, per molt tècnicament avançat per l’època que pugui semblar aquest tipus de construcció, cal tenir en compte un detall fonamental que no pot passar per alt: els mestres d’obra de l’època no disposaven de càlculs algebraics ni d’equacions com les que s’han mostrat en aquest article per construir les catedrals gòtiques. No tenien ni les eines modernes ni els coneixements matemàtics avançats que actualment considerem imprescindibles per dur a terme un projecte de construcció. Però el que sí que posseïen era un profund coneixement pràctic, fruit de l’experiència acumulada i transmesa de generació en generació. Aquesta experiència els permetia comprendre amb gran precisió com funcionaven les forces i el repartiment del pes dins de les seves colossals construccions, aconseguint resultats que continuen fascinant-nos segles després.
En aquest sentit, hem de tenir present, que tot i que la trigonometria —la part de les matemàtiques que estudia els angles i les distàncies— ja era coneguda per cultures antigues com els babilonis, a l’Europa del segle XII, la del principi del gòtic, tot just acabaven de conèixer l’existència del número zero, i encara s’utilitzaven els números romans per als càlculs. I això quines implicacions té? Doncs que els mestres d’obra no podien dur a terme el disseny estructural de les catedrals basant-se en estimacions numèriques, ja que els números romans no eren gens pràctics per fer càlculs complicats, com els que es necessiten en la construcció. Per trobar un avanç en aquest sentit, hem d’avançar fins un segle més tard, al segle XIII. És en aquell moment que el conegut matemàtic italià Leonardo Fibonacci va escriure el llibre de càlcul, el Liber Abaci (1202), amb el propòsit d’introduir i popularitzar a Europa el sistema de numeració aràbic-hindú, que utilitza els números del 0 al 9 i el concepte del zero com fem servir avui en dia, com a base per al càlcul. Aquest sistema era molt més pràctic pels càlculs i la trigonometria que el sistema de numeració romana, que com ja he dit, era a dominant a Europa en aquell moment, però menys eficient per al càlcul. No obstant això, encara passarien segles fins que aquests mètodes de càlcul, s’introduïssin de forma generalitzada en tots els àmbits de la societat i en el camp de l’arquitectura i la construcció a Europa.
Un altre dels elements propis del gòtic, les voltes de creueria de les naus, element bàsic de l’estructura de les catedrals gòtiques, també tenen la vesica piscis com a element fonamental com a base de la seva realització. Formades per l’encreuament d’arcs ogivals, aquestes voltes creen un entramat de línies que distribueixen el pes amb precisió, utilitzant el principi de les superfícies reglades. Els mestres d’obra gòtics realitzaven meticulosament cada nervadura per garantir que la volta suportés el pes sense comprometre l’estabilitat de l’edifici.
Pel que fa a les finestres amb vitralls i els rosetons de les catedrals gòtiques, aquests elements també són uns altres grans exemples visuals de com la vesica piscis es converteix en una base fonamental tant per a les proporcions com per als dissenys decoratius. Aquesta figura geomètrica no només està present i influeix en les dimensions generals d’aquests elements, sinó que també es manifesta en els patrons intricats que trobem a l’interior d’aquests. Els mestres d’obra i els artesans del vidre de l’època van desenvolupar una destresa impressionant tenint en compte els mitjans de l’època, creant cercles tangents, polígons regulars i figures estrellades al seu interior, combinant amb precisió vidre i pedra per donar vida a aquestes obres mestres. La complexitat d’aquests dissenys reflecteix un coneixement profund de la geometria i una capacitat tècnica extraordinària. D’aquest tema, de les finestres i rosetons de les catedrals gòtiques, per la seva complexitat i al gran nombre de detalls que presenten, mereix un capítol a part i en parlaré en una propera publicació per tal d’oferir una explicació pausada i detallada sobre la relació entre les proporcions i la geometria dels ornaments de finestres gòtiques i rosetons i la vesica piscis.
En una època sense càlculs complexos ni eines modernes, els mestres d’obra van aixecar aquestes estructures colossals amb geometria, intuïció i coneixement transmesos de generació en generació. La geometria no era només un recurs tècnic, sinó també una forma de connexió amb el diví. Entre totes les figures geomètriques que sostenen aquest llegat, la vesica piscis destaca com un símbol d’harmonia i transcendència. Aquesta figura, creada, com hem vist, per la intersecció de dos cercles de radis idèntics, on el perímetre de cadascun d’ells passa pel centre de l’altre, no només es convertí en un emblema espiritual, sinó que també fou la base per dissenyar proporcions i formes en elements clau de les catedrals, com els arcs ogivals, les voltes de creueria, les finestres i els rosetons, entre d’altres. La vesica piscis, amb el triangle equilàter al seu interior, ens recorda com la bellesa inherent de la geometria pot ser alhora funcional i simbòlica. Aquest símbol, que uneix misticisme i precisió tècnica, reflecteix la rica interconnexió de l’edat mitjana entre la ciència i la fe, entre l’home i el diví. Les catedrals gòtiques, per tant, no són només edificis imponents, sinó autèntiques obres d’art que integren coneixements matemàtics, filosòfics i espirituals. Ens recorden la capacitat de la humanitat per comprendre i donar forma al que sembla impossible. Aquest llegat arquitectònic continua inspirant i meravellant aquells que les contemplen, oferint una finestra a una època en què les matemàtiques i la geometria eren considerades una via per arribar a la comprensió del cosmos i de la seva bellesa inherent.